逆向归纳法（backward Induction）

逆向归纳法是一种常用于动态博弈的求解方法，核心思想是从博弈的最后阶段开始推导，逐步回溯，找到最优策略。

这种方法通常用于有限步博弈（finite games），尤其是在完全信息动态博弈中，即所有参与者都知道游戏规则和其他玩家的可能选择。

逆向归纳法的基本步骤

1. 从最后一步开始分析：假设已经到达博弈的最后一个决策节点，找出在此节点上每个玩家的最优策略。

2. 回溯至前一步：假设前一个决策者知道后续的最优选择，并据此做出最优决策。

3. 重复以上过程，直至回溯到起点：最终得出的策略就是整个博弈的最优均衡解。

案例分析

1. 终局博弈（Ultimatum Game）

假设有两个玩家：

? A玩家分配100元，决定给b玩家多少钱（整数）。

? b玩家可以选择接受（Accept）或拒绝（Reject）：

? 如果接受，双方按A的分配拿钱。

? 如果拒绝，双方都拿不到钱。

逆向归纳分析

1. b的决策（最后一步）：

? 如果b接受，他能获得分配到的钱。

? 如果b拒绝，双方都拿不到钱。

? 理性b玩家应接受任何非零金额，因为比0更好。

2. A的决策（回溯）：

? A知道b会接受任何非零金额，所以A的最优策略是给b最少的钱（如1元），自己拿99元。

结论：A分1元，b接受，这是均衡策略。

2. 进入威胁博弈（Entry deterrence Game）

假设一个新企业（E）考虑进入市场，而已有企业（I）可以选择降价竞争（Fierce）或维持高价（Acmodate）。

博弈树

1. E决定是否进入市场：

? 进入（Enter）

? 不进入（Stay out）

2. 如果E进入，I决定策略：

? 降价（Fierce）：I 和 E 都亏损 -10。

? 高价（Acmodate）：I赚10，E赚5。

? E不进入（Stay out）：I独占市场，赚15，E赚0。

逆向归纳分析

1. I的决策（最后一步）：

? 如果E已进入，I在降价（-10）和高价（10）之间选择，高价更优，所以I会选择高价。

2. E的决策（回溯）：

? 知道I不会降价，E进入后可以赚5（比0好），所以E会进入市场。

结论：E进入，I维持高价，这是均衡策略。

3. 百吉饼博弈（centipede Game）

假设有两个玩家轮流决定**“拿走（take）”还是“继续（pass）”**奖金池：

? 初始奖金池2元，每轮增加。

? 如果某人“拿走”，他获得大部分奖金，另一个人获得少部分。

? 游戏最多持续4轮。

逆向归纳分析

1. 最后一轮：

? 若轮到玩家b，他会“拿走”，因为这是他的最后机会。

2. 倒数第二轮：

? 玩家A知道b会在下一轮拿走，因此他会在这一轮就拿走。

3. 第三轮：

? 玩家b知道A会在下一轮拿走，因此他会在这一轮就拿走。

4. 回溯至第一轮：

? A知道b在下一轮会拿走，所以A在第一轮就拿走。

结论：尽管合作能让奖金池增大，但完全理性玩家会在第一轮就终止游戏。

总结

? 逆向归纳法适用于有限步动态博弈，从最后一步开始推导。

? 它能帮助玩家预见对手的最优策略，做出最优决策。

? 适用于终局博弈、市场进入、谈判、竞标等策略决策。

逆向归纳法的应用

逆向归纳法广泛应用于经济、商业、政治、军事、人工智能等领域，特别适用于动态决策问题，即决策者的选择会影响未来的结果。以下是几个典型的应用场景：

1. 经济与商业